SymPy-符號運算好幫手?
SymPy是Python的數學符號計算庫，用它可以進行數學公式的符號推導。為了調用方便，下面所有的實例程序都假設事先從sympy庫導入了所有內容：
>>> from sympy import *
封面上的經典公式?
本書的封面上的公式：
叫做歐拉恒等式，其中e是自然指數的底，i是虛數單位， 
是圓周率。此公式被譽為數學最奇妙的公式，它將5個基本數學常數用加法、乘法和冪運算聯系起來。下面用SymPy驗證一下這個公式。
載入的符號中，E表示自然指數的底，I表示虛數單位，pi表示圓周率，因此上述的公式可以直接如下計算：
>>> E**(I*pi)+1
0
歐拉恒等式可以下面的公式進行計算，
為了用SymPy求證上面的公式，我們需要引入變量x。在SymPy中，數學符號是Symbol類的對象，因此必須先創建之后才能使用：
>>> x = Symbol('x')
expand函數可以將公式展開，我們用它來展開E**(I*pi)試試看：
>>> expand( E**(I*x) )
exp(I*x)
沒有成功，只是換了一種寫法而已。這里的exp不是math.exp或者numpy.exp，而是sympy.exp，它是一個類，用來表述自然指數函數。
expand函數有關鍵字參數complex，當它為True時，expand將把公式分為實數和虛數兩個部分：
>>> expand(exp(I*x), complex=True)
I*exp(-im(x))*sin(re(x)) + cos(re(x))*exp(-im(x))
這次得到的結果相當復雜，其中sin, cos, re, im都是sympy定義的類，re表示取實數部分，im表示取虛數部分。顯然這里的運算將符號x當作復數了。為了指定符號x必須是實數，我們需要如下重新定義符號x：
>>> x = Symbol("x", real=True)
>>> expand(exp(I*x), complex=True)
I*sin(x) + cos(x)
終于得到了我們需要的公式。那么如何證明它呢。我們可以用泰勒多項式展開：
>>> tmp = series(exp(I*x), x, 0, 10)
>>> pprint(tmp)
2 3 4 5 6 7 8 9
x I*x x I*x x I*x x I*x
1 + I*x - -- - ---- + -- + ---- - --- - ---- + ----- + ------ + O(x**10)
2 6 24 120 720 5040 40320 362880
series是泰勒展開函數，pprint將公式用更好看的格式打印出來。下面分別獲得tmp的實部和虛部，分別和cos(x)和sin(x)的展開公式進行比較：
>>> pprint(re(tmp)) 2 4 6 8 x x x x 1 + re(O(x**10)) - -- + -- - --- + ----- 2 24 720 40320>>> pprint( series( cos(x), x, 0, 10) ) 2 4 6 8 x x x x 1 - -- + -- - --- + ----- + O(x**10) 2 24 720 40320>>> pprint(im(tmp)) 3 5 7 9 x x x x x + im(O(x**10)) - -- + --- - ---- + ------ 6 120 5040 362880>>> pprint(series(sin(x), x, 0, 10)) 3 5 7 9 x x x x x - -- + --- - ---- + ------ + O(x**10) 6 120 5040 362880
球體體積?
在用SciPy數值積分一節我們介紹了如何使用數值定積分計算球體的體積，而SymPy的符號積分函數integrate則可以幫助我們進行符號積分。integrate可以進行不定積分：
>>> integrate(x*sin(x), x)
-x*cos(x) + sin(x)
如果指定x的取值范圍的話，integrate則進行定積分運算：
>>> integrate(x*sin(x), (x, 0, 2*pi))
-2*pi
為了計算球體體積，首先讓我們來看看如何計算圓形面積，假設圓形的半徑為r，則圓上任意一點的Y坐標函數為：
因此我們可以直接對上述函數在-r到r區間上進行積分得到半圓面積，注意這里我們使用symbols函數一次創建多個符號：
>>> x, y, r = symbols('x,y,r')
>>> 2 * integrate(sqrt(r*r-x**2), (x, -r, r))
2*Integral((r**2 - x**2)**(1/2), (x, -r, r))
很遺憾，integrate函數沒有計算出結果，而是直接返回了我們輸入的算式。這是因為SymPy不知道r是大于0的，如下重新定義r，就可以得到正確答案了：
>>> r = symbols('r', positive=True)
>>> circle_area = 2 * integrate(sqrt(r**2-x**2), (x, -r, r))
>>> circle_area
pi*r**2
接下來對此面積公式進行定積分，就可以得到球體的體積，但是隨著X軸坐標的變化，對應的切面的的半徑會發生變化，現在假設X軸的坐標為x，球體的半徑為r，則x處的切面的半徑為可以使用前面的公式y(x)計算出。
球體體積的雙重定積分示意圖
因此我們需要對circle_area中的變量r進行替代：
>>> circle_area = circle_area.subs(r, sqrt(r**2-x**2))
>>> circle_area
pi*(r**2 - x**2)
用subs進行算式替換
subs函數可以將算式中的符號進行替換，它有3種調用方式：
- expression.subs(x, y) : 將算式中的x替換成y
- expression.subs({x:y,u:v}) : 使用字典進行多次替換
- expression.subs([(x,y),(u,v)]) : 使用列表進行多次替換
請注意多次替換是順序執行的，因此：
expression.sub([(x,y),(y,x)])
并不能對兩個符號x,y進行交換。
然后對circle_area中的變量x在區間-r到r上進行定積分，得到球體的體積公式：
>>> integrate(circle_area, (x, -r, r))
4*pi*r**3/3